Ejemplos de Funcion Cubica o Ecuacion de Tercer grado

Representacion Grafica de Funcion Cubica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

Ecuación cúbica

Discriminante

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: 

• Si , Entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

• Si , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).

• Si , entonces la ecuación tiene tres distintas raíces reales.

donde el coeficiente a es distinto de 0.

Funcion Cubica. Consideraciones Generales

Definicion de Funcion Cubica

Función Cúbica. Es generalmente utilizada para relacionar volúmenes en determinados espacio o tiempo. Otro ejemplo es el relacionar el crecimiento de un feto en gestación con el hecho de relacionar su distancia de los pies a la cabeza se puede determinar la semanas de gestación del feto. También el hecho de relacionar los vientos o la energía eólica con respecto a la intensidad de estos y su tiempo de duración. Se utiliza más en el campo de la economía y de la física.

Definición

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR

Propiedades

El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)

El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.

La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

La función es continua en todo su dominio.

La función es siempre creciente.

La función no tiene asintotas.

La función tiene un punto de corte con el eje Y.

La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

Ejemplo de Funcion Cuadratica

Funcion Cuadratica.

Función cuadrática de Sabrina Dechima

Definicion y Representacion Grafica de una Funcion Cuadratica

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax ² ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x ² − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x ² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

 Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x ² − 3x − 5

Función cuadrática de Sabrina Dechima

Ejemplos de Funcion lineal o afin

Tipos de funciones y Caracteristicas

Definicion y Forma de graficar una Funcion Lineal o A fin

Funcion lineal y función afín from María Pizarro

Ejemplos de la Funcion Identidad

Explicacion de un ejemplo completo sobre una funcion identidad:

Como realizar un ejercicio practico nivel estudiante de este tipo de funciones.

Como graficar una Función Identidad?

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.

Definicion de Funcion Identidad

Su funcion Basica es F(x)=X Su nombre proviene del hecho, que el valor del dominio (X),sera el mismo o identico valor que el contradominio (Y)con esta condiccion es una funcion unica.

• *Funcion Continua

• *Dominio del (-) infinito hasta mas infinito.

• *Es de primer grado ( Linea Recta )

• *Tiene pendiente, 1 creciente

• *Su alguno de inclinacion es de 45 grados

• *Debe pasar por el origen

• *A la vez es biyectiva, Inyectiva

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

La función identidad también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Al ser ésta positiva (m > 0), la función es creciente.

Que la pendiente de la función identidad sea m = 1 significa que si aumentamos la x en una unidad, la y también aumenta en una unidad.

Formará un ángulo de 45° con cualquiera de los eje

Ejemplos de Función Constante

Ejemplo 1.

La función  f(x) = 4  es una función constante  porque  independientemente del valor de  x   el valor de la función siempre es  4.

Otra manera de representar una función es por medio de una lista de parejas ordenadas de la forma  ( x,  f(x))   frecuentemente en una tabla.

Ejemplo 2.

La función   f(x)=3   se puede representar en forma tabular para algunos valores de x:

x f(x) -1 3 0 3 1 3 3 1.5 3 3

La gráfica de esta función para los valores de  x  entre  -3  y  3 es:

Ejemplo 3.

Sea la función  f(x)=-2 ,  encontrar su representación tabular y gráfica.

x f(x) -3 -2 -1.75 -2 -1 -2 0 -2 1 -2 2.99 -2

Una función constante  f(x) = c :

• tiene el mismo valor de y = f(x) para cualquier valor de x,
• tiene como gráfica una línea horizontal,
• nunca cruza el eje x, excepto cuando  f(x) = 0,
• cruza una sola vez el eje y  en el punto  (0, c),
• es aquella en que el exponente máximo de la x es cero,

Nota.   Dado que 

  ,  entonces  . 

Otros Ejemplos:

Función constante en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que c < d forman el intervalo [c,d].

Una función es constante entre c y d si para cualquier par de puntos x₁ y x₂del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) = f(x₂). Es decir, es constante en [c,d] si al aumentar la variable independiente x, la variable dependiente ypermanece constante.

Función constante en un punto

Sea una función f derivable en el punto p.

La función f es constante en un punto p si f ’(p) = 0. Es decir, es constante si la derivada es nula en p .

Ejemplo de Función Constante  en un intervalo 

Sea la función f definida como:

Estudiar si la función f es constante en el intervalo [2,4].

En el intervalo [2,4] f está definida como f(x)=1, cuya derivada es nula:f‘(x)=0

Al ser la derivada es 0 en todo el intervalo [2,4], podemos decir que lafunción f es constante en [2,4].

Función constante en un punto

Supongamos que tenemos la función f definida como:

Estudiar si la función f es constante en los puntos x=-1 y x=1.

En los puntos x=-1 y x=1 actua f como la función f(x)=2, siendo su derivadaf ’(x)=0. Por tanto:

La derivada en los puntos es f ’(-1)=0 y f ’(1)=0, por lo que f es constanteen x=-1 y x=1.